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ⓘ Adição




Adição
                                     

ⓘ Adição

Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

                                     

1. Propriedades importantes

No conjunto dos números reais a adição possui as seguintes propriedades:

  • Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se 2 + 3 + 1 = 6, então 2 + 3 + 1 = 6;
  • Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação. Assim, se 2 + 3 = 5, então 3 + 2 = 5;
  • Elemento neutro: A parcela 0 zero não altera o resultado das demais parcelas. O zero é denominado como o "elemento neutro" da adição. Assim, se 2 + 3 = 5, então 2 + 3 + 0 = 5;
  • Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.
  • Distributiva: Quando estamos multiplicando por um número, uma soma composta por duas parcelas, podemos primeiro efetuar a soma e depois a multiplicação, ou multiplicar cada uma das parcelas pelo referido valor e depois efetuar a soma dos resultados. Por exemplo, 2 ∗ 3 + 4 = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 4 {\displaystyle 2*3+4=2*3+2*4} ;
                                     

2. Notação

Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus em português arcaico "+". Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências. para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

∑ i = m n x i = x m + x m + 1 + x m + 2 + ⋯ + x n − 1 + x n. {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.}

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório ; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

∑ k = 1 5 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. {\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.}

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito ∞ no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

∑ i = m ∞ x i:= lim n → ∞ ∑ i = m n x i. {\displaystyle \sum _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}x_{i}.}

Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e

∑ i = − ∞ ∞ x i:= lim n → ∞ ∑ i = − n m x i + lim n → ∞ ∑ i = m + 1 n x i, {\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=-n}^{m}x_{i}+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m+1}^{n}x_{i},}

para algum m, desde que ambos os limites existam.

                                     

3. Relações com outras operações e constantes

É possível somar menos que 2 números:

  • Se você somar o termo único x, então a soma é x ;
  • Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.



                                     

4. Somas úteis

As identidades a seguir são bastante úteis:

∑ i = 1 n 2 i − 1 = n 2 ; {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2};} ∑ i = 0 n i 2 = n + 1 2 n + 1 6 ; {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {nn+12n+1}{6}};} ∑ i = 0 n i 3 = n + 1 2) 2 ; {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left{\frac {nn+1}{2}}\right)^{2};} ∑ i = N 1 N 2 x i = x N 2 + 1 − x N 1 x − 1 {\displaystyle \sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={\frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}} ver séries geométricas; ∑ i = 0 n x i = x n + 1 − 1 x − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}} caso especial do anterior em que N 1 = 0 {\displaystyle {N_{1}}=0} ∑ i = 0 ∞ k x i = k 1 − x ; | x | < 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }kx^{i}={\frac {k}{1-x}};|x|
                                     
  • Em química orgânica, uma adição nucleofílica é uma reação de adição onde em um composto químico insaturado ligação dupla ou tripla reage com um nucleófilo
  • é armazenada em um ânion alcóxido. Uma adição nucleofílica é chamada de adição conjugada nucleofílica ou adição 1, 4 - nucleofílica. Os alquenos ativados
  • no ponto B e determine o ponto D o comprimento A D é o resultado da adição dos segmentos adjacentes. Wagner, Eduardo. Construções Geométricas. Rio
  • Adições em Ester são as mudanças encontradas na versão grega do Livro de Ester na Septuaginta em relação à versão hebraica, o texto massorético. Seis
  • Hidratação - Adição de HCN - Adição de Reagentes de Grignard e reagentes de hidreto - Adição de aminas - Adição de Hidrazina - Adição de álcoois - Adição de iletos
  • sofrer adição pois também possuem caráter de ligação dupla. Existem quatro tipos principais de reações de adição Adições eletrófílicas Adições nucleofílicas
  • Adição oxidativa e eliminação redutiva são duas importantes classes de reações em química organometálica. Suas relações são mostradas adiante onde y representa
  • A árvore da adição é uma forma de resolver problemas de adição Esse método, é usado em forma desenhada ou seja, são feitos um abaixo do outro. Pablo
  • adição sin consiste na adição de dois substituintes sobre o mesmo lado ou face de uma ligação dupla ou tripla. Uma adição anti consiste na adição de
  • Em geometria, a adição de Minkowski ou soma de Minkowski, também conhecida como dilatação morfológica de dois conjuntos de vetores de posições A e B
  • metal de adição é um metal adicionado na produção de uma junta através de soldagem, brasagem ou soldagem a frio. Quatro tipo de metais de adição existem - eletrodos